球的体积和表面积
2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题.
1.球的体积
如果球的半径为R,那么它的体积$V=\frac{4}{3} \pi R 3$
【做一做1】 半径为3的球的体积是( )
A.9π B.81π C.27π D.36π
2.球的表面积
如果球的半径为R,那么它的表面积$S=4 \pi R^{2}$.
【做一做2】 半径为$\sqrt{5}$的球的表面积等于_______。
与球有关的组合体问题的解题策略
剖析:可通过画过球心的截面来分析.例如,底面半径为r,高为h的fun88网上娱乐锥内部有一球O,且球与fun88网上娱乐锥的底面和侧面均相切.
如图,过球心O和fun88网上娱乐锥的顶点A作fun88网上娱乐锥的截面,则球心是等腰三角形ABC的内接fun88网上娱乐的fun88网上娱乐心,AB和AC均是fun88网上娱乐锥的母线,BC是fun88网上娱乐锥的底面直径,D是fun88网上娱乐锥底面的fun88网上娱乐心.
用同样的方法可得出以下结论:
(1)若长方体的8个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是球的直径;
若球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长;
若球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线.
(2)若球与fun88网上娱乐柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于fun88网上娱乐柱的高,也等于fun88网上娱乐柱底面fun88网上娱乐的直径.
(3)若球与fun88网上娱乐台的底面和侧面均相切,则球的直径等于fun88网上娱乐台的高.
【例1】
(1)已知球的表面积为64$\pi$,求它的体积;
(2)已知球的体积为$\frac{500 \pi}{3}$,求它的表面积。
反思
确定一个球的条件是球心的位置和球的半径,已知球的半径可以利用公式求它的表面积和体积;反过来,已知球的体积或表面积也可以求其半径.
【变式训练1】 已知某球体积的大小等于其表面积的大小,则该球的半径是( )
A. $\sqrt{3}$ B. 3 C. 4 D.5
题型二、与球有关的组合体问题
【例2】 若棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为_______.
【变式训练2】 若一个球与棱长为2的正方体的各个面相切,则该球的体积为_______.
题型三、与三视图有关的球的体积与表面积
【例3】 某几何体的三视图如图所示,则其表面积为________.
反思
1.由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的特征和三视图中数据的含义.此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的fun88网上娱乐.
2.计算球或与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接,避免重叠和交叉.
【变式训练3】 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为______.