中心投影与平行投影/空间几何体的三视图
2.能画出简单空间几何体(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图.
3.能识别三视图所表示的立体图型.
1.投影
定义
由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影,其中,我们把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影面
分类
中心投影
光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影.中心投影的投影线交于一点
平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影.平行投影的投影线是平行的.在平行投影中,投影线正对着投影面时,叫做正投影,否则叫做斜投影
归纳总结
当图形中的直线或线段不平行于投影线时,平行投影具有下述性质:
(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段.
(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线.
(3)平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长.
(4)与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.
【做一做1-1】 已知$\triangle$ABC,选定的投影面与$\triangle$ABC所在的平面平行,则经过中心投影后所得的三角形与$\triangle$ABC ( )
A.全等 B.相似
C.不相似 D.以上都不正确
【做一做1-2】 一条直线在平面上的平行投影是( )
A.直线 B.点
C.线段 D.直线或点
2.三视图
分类
正视图
光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的正视图
侧视图
光线从几何体的左面向右面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的侧视图
俯视图
光线从几何体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的俯视图
说明
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图
特征
一个几何体的侧视图和正视图高度一样,俯视图与正视图长度一样,侧视图与俯视图宽度一样.为了便于记忆,通常用口诀“长对正,高平齐,宽相等”
【做一做2】 下列说法错误的是( )
A.正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度
B.俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度
C.侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度
D.一个几何体的正视图和俯视图高度一样,正视图和侧视图长度一样,侧视图和俯视图宽度一样
1.辨析平行投影和中心投影
剖析:平行投影和中心投影都是投影,但二者又有区别:
(1)中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行.
(2)在平行投影中,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则不同.
(3)画实际效果图一般用中心投影法;画立体几何中的图形一般用平行投影法.
2.旋转体的三视图
剖析:旋转体是由某个平面图形绕着旋转轴旋转形成的,显然它是关于旋转轴对称的一类几何体.
当旋转体的底面水平放置时(除球外),它的三视图比较简单,这时常见的三视图分别为:
(1)fun88网上娱乐柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是fun88网上娱乐;
(2)fun88网上娱乐锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是fun88网上娱乐和fun88网上娱乐心;
(3)fun88网上娱乐台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心fun88网上娱乐.
球的正视图、侧视图和俯视图都是fun88网上娱乐.
显然,它们有共同的特征:①俯视图中肯定存在一个fun88网上娱乐,还可能存在另外的fun88网上娱乐或者点,但是不会出现其他的图形,因为它们是绕着轴旋转形成的.②它们的正视图和侧视图是相同的,都是这个几何体的轴截面.因为球比较特殊,它的轴截面也是fun88网上娱乐,所以使得它的三个视图是完全相同的.
题型一、
【例1】 如图,在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,E,F分别是$A A_{1}, C_{1} D_{1}$的中点,G是正方形$B C C_{1} B_{1}$的中心,则四边形AGFE在该正方体的各个面上的正投影可能是图中的________.(只填图号)
反思
画出一个图形在一个平面上的投影的关键是找准图形中的关键点,如顶点等.先画出这些关键点的投影,再依次连接这些点即可得此图形在该平面上的投影.
【变式训练1】
在正方体ABCD -A'B'C'D'中,E,F分别是A'A,C'C的中点,则下列结论正确的是________.(只填序号)
①四边形BFD'E在底面ABCD内的正投影是正方形;
②四边形BFD'E在侧面A'D'DA内的正投影是菱形;
③四边形BFD'E在侧面A'D'DA内的正投影与在侧面ABB'A'内的正投影是全等的平行四边形.
题型二、画几何体的三视图
【例2】 画出如图所示的几何体的三视图.
反思
画组合体的三视图的步骤:
画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,看不见的轮廓线和棱用虚线表示.
【变式训练2】 画出如图所示的几何体的三视图.
题型三、由三视图讨论几何体的特征
【例3】 某几何体的三视图如图所示,试分析该几何体的特征.
反思
根据三视图想象空间几何体时,需要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征,想象整个几何体的特征,从而判断三视图所描述的几何体.通常是根据俯视图判断是多面体还是旋转体,再结合正视图和侧视图确定具体的几何特征,最后确定是简单几何体还是简单组合体.【变式训练3】 如图是一个物体的三视图,则此三视图所描述的物体可能是下图中的( )
题型四、易错辨析
易错点:虚线漏画或画为实线而致错
【例4】 画出如图所示的几何体的正视图和俯视图.
反思
在三种视图中,可见的线都画成实线,存在但不可见的线一定要画出,且要画成虚线;画三视图时,一定要分清可见的线与不可见的线,避免出现错误.