高中数学网平面向量共线的坐标表示
2.能用向量的坐标表示判定两个向量共线,会用向量的坐标表示证明三点共线.
平面向量共线的坐标表示
设$\mathbf{a}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathbf{b}=\left(x_{2}, y_{2}\right)$,其中$\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$,当且仅当$x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}=0$时,$\mathbf{a} / / \mathbf{b}$.
知识拓展
1.线段中点坐标公式:设$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2,} y_{2}\right)$,则线段AB中点的坐标是$M\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$.
2.若$P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$,且$\overrightarrow{P_{1} P}=\lambda \overrightarrow{P P_{2}}(\lambda \neq-1)$,则$P\left(\frac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda}, \frac{y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda}\right)$.
【做一做】 下列各组向量共线的是( )
A.$a=(-2,3), b=(4,6)$
B.$a=(2,3),b=(3,2)$
C.$a=(1,-2),b=(7,14)$
D.$a=(-3,2),b=(6,-4)$
答案:D
1.对向量共线条件的理解
剖析:(1)已知$\mathbf{a}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathbf{b}=\left(x_{2}, y_{2}\right)$,由$x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}=0$成立,可判断$a$与$b$共线;反之,若$a$与$b$共线,则它们的坐标满足$x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}=0$.
(2)在讨论向量共线时,规定零向量可以与任一向量共线,故在$x_{2} y_{2} \neq 0$的条件下,$a$与$b$共线的条件可化为 $\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}$ ,即两个向量共线的条件为相应坐标成比例.
2.三点共线问题
剖析:(1)若$A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right)$,则A,B,C三点共线的条件为$\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{3}-y_{1}\right)-\left(x_{3}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)=0$.
(2)若已知三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种方法:
①直接利用上述条件,计算$\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(y_{3}-y_{1}\right)-\left(x_{3}-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)$是否为0.
②任取两点构成向量,计算出两个向量如$\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$,再通过两个向量共线的条件进行判断.
3.两个向量共线条件的表示方法
剖析:已知$\mathbf{a}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathbf{b}=\left(x_{2}, y_{2}\right)$,
(1)当$\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$时,$\mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}$.这是几何运算,体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.
(2)$x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}=0$.这是代数运算,用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“$\lambda$”,从而减少未知数个数,而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征.
(3)当$x_{2} y_{2} \neq 0$时,$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}$ ,即两个向量的相应坐标成比例.通过这种形式较容易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误.
题型一、已知向量共线,求参数的值
【例1】 已知$\mathbf{a}=(1,2), \mathbf{b}=(-3,2)$,当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?
分析:先由向量a,b求得向量ka+b与a-3b,再根据向量平行的条件列方程组求得k的值,最后判断两个向量的方向.
反思
已知两个向量共线,求参数的问题,通常先求出每一个向量的坐标,再根据两向量共线的坐标表示,列出方程求解参数.
【变式训练1】 已知向量$\mathbf{a}=(3,1), \mathbf{b}=(1,3), \mathbf{c}=(k, 7)$,若$(\mathbf{a}-\mathbf{c}) / / \mathbf{b}$,则k=_______.
题型二、三点共线问题
【例2】 求证:$A(1,5), B\left(\frac{1}{2}, 4\right), C(0,3)$三点共线.
反思
证明三点共线的常见方法有:(1)证得两条较短的线段长度之和等于第三条线段的长度;(2)利用斜率;(3)利用直线方程即由其中两点求出直线方程,再验证第三点在这条直线上;(4)利用向量共线的条件,如本题.其中方法(4)是最优解法.
【变式训练2】 (1)若$A(-1,-2),B(4,8),C(5,x)$,且$A,B,C$三点共线,则x=_________.
(2)已知$A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)$,求证:$A,B,C$三点共线.
题型三、向量共线条件的应用
【例3】 如图,已知点$A(4,0), B(4,4), C(2,6), O(0,0)$,求$AC$与$OB$的交点$P$的坐标.
分析:先设出点P的坐标,再利用向量共线的条件求解.
反思
在求点或向量的坐标时,要充分利用两个向量共线的条件,要注意方程思想的应用,建立方程的条件有向量共线、向量相等等.
【变式训练3】 已知点$A(3,5), B(6,9)$,且$|\overrightarrow{A M}|=3|\overrightarrow{M B}|, M$是直线$AB$上一点,求点$M$的坐标.
题型四、易错辨析
易错点 用错向量共线的等价条件致错
【例4】 已知$\mathbf{a}=(3,2-m)$与$\mathbf{b}=(m,-m)$平行,求$m$的值
