指数函数与对数函数的关系
反函数
当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.
一般地,如果函数$y=f(x)$存在反函数,那么它的反函数记作$y=f^{1}(x)$,反函数也是函数,它具有函数的一切特性.反函数是相对于原函数而言的,函数与它的反函数互为反函数.
指数函数$y=a^{x}(a>0$,且$a \neq 1)$和对数函数$y=\log _{a} x(a>0$,且$a \neq 1 )$互为反函数,它们的定义域与值域相互对换,单调性相同,图象关于直线$y=x$对称.
名师点拨反函数的定义不只局限于函数$y=\log _{a} x(a>0, a \neq 1)$与函数$y=a^{x}(a>0, a \neq 1)$之间,对于其他的函数之间也可能存在互为反函数的关系,特别注意的是一个函数要存在反函数,它必须是一个一一对应的函数.
【做一做1-1】 函数$f(x)=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}$的反函数是________,函数$g(x)=\log _{8} x$的反函数是_________.
答案:$f^{1}(x)=\log _{\frac{2}{3}} x \quad g^{-1}(x)=8^{x}$
【做一做1-2】 函数$f(x)=\log _{3} x$与$g(x)=3^{x}$的图象( )
A.关于$x$轴对称 B.关于$y$轴对称
C.关于直线$y=x$对称 D.关于原点对称
解析:根据互为反函数的图象特征可知,两函数的图象关于直线$y=x$对称.
答案:$C$
一、对反函数定义的理解
剖析:我们大家已经学习了反函数的描述性定义,为了更好地理解反函数的定义,下面总结以下几点:
(1)只有一一映射确定的函数才有反函数.例如,一次函数$y=k x+b(k \neq 0)$,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$,指数函数$y=a^{x}(a>0$,且$a \neq 1 )$,对数函数$y=\log _{a} x(a>0$,且$a \neq 1 )$,它们都是一一映射确定的函数,都有反函数;但二次函数$y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$在整个定义域上没有反函数,因为关于对称轴$x=-\frac{b}{2 a}$对称的两个不同自变量对应同一函数值,它不是一一映射下的函数,所以没有反函数.
(2)反函数也是函数,它具有函数的一切特性;反函数是相对于原函数而言的,函数与它的反函数互为反函数.
(3)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换,对应法则互逆.
(4)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称,利用图象间的这一关系,可以简化作图过程,也可借助图象来分析函数的一些性质.
(5)若函数$f(x)$的图象经过点$(a, b)$,则其反函数的图象必过点$(b, a)$.
二、指数函数、对数函数的图象与性质的区别与联系
剖析:用表格表示如下:
名称
指数函数
对数函数
一般形式
$y=a^{x}(a > 0, a \neq 1)$
$y=\log _{a} x \\ (a > 0, a \neq 1)$
定义域
$(-\infty,+\infty)$
$(0,+\infty)$
值域
$(0,+\infty)$
$(-\infty,+\infty)$
图象
$y=a^{x}$的图象与$y=\log _{a} x$的图象关于直线$y=x$对称
单调性
当$a > 1$时,在$(-\infty,+\infty)$
上为增函数;当$0 < a < 1$时,
在$(-\infty,+\infty)$上为减函数当$ a > 1$时,在$(0,+\infty)$
上为增函数;当$0 < a < 1 $时,
在$(0,+\infty)$上为减函数函数值
的分布
①当$ a > 1$时,若$ x > 0$,
则$ y > 1$;若$ x = 0,$
则$ y= 1 $;若$ x < 0, $则$0 < y < 1$②当$0 < a < 1$时,若$ x > 0,$
则$0 < y< 1;$若$ x= 0,$
则$ y= 1;$若 $x < 0$,则$ y > 1$①当$ a > 1$时,若$ x > 1$,则$ y > 0$;
若$ x= 1$,则$ y= 0$;
若$0 < x< 1$,则$ y < 0$②当$0 < a < 1$时,
若$ x > 1$,则$ y < 0$;
若$ x= 1 $,则$ y= 0;$
若$0 < x < 1,$则$ y > 0$
题型一 求函数的反函数
【例1】 求下列函数的反函数:
$(1) y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} ; \quad(2) y=\log _{5} x ; \quad(3) y=\lg (2 x)$.
分析:深刻理解对数函数与指数函数的关系,是求指数函数(或对数函数)的反函数的前提.
反思
求函数的反函数的主要步骤:(1)从$y=f(x)$中解出$x=\varphi(y)$;(2)将$x,y$互换;(3)标明反函数的定义域(即原函数的值域),简记为“一解、二换、三写”.本题主要依据指数函数与对数函数互为反函数来解.【变式训练1】 (1)函数$y=\ln x$的反函数是_________;
(2)若函数$y=\left(\frac{4}{3}\right)^{x}$ 的反函数是$g(x)$,则$g\left(\frac{3}{4}\right)=$_________;
(3)若函数$y=f(x)$的反函数是$y=a^{x}(a>0$,且$a \neq 1 )$,且函数图象经过点$(\sqrt{a}, a)$,则$f(x)=$_________.
题型二 反函数的综合利用
【例2】 已知$x_{1}$是方程$x+\lg x=3$的一个根,$x_{2}$是方程$x+10^{x}=3$的一个根,那么$x_{1}+x_{2}$的值是( )
A.6 B.3 C.2 D.1
反思
本题是关于方程根的问题,如果采用纯代数的方法,从解方程或解方程组的方法入手,将很困难,于是我们可以想到构造函数,利用函数图象,借助数形结合的思想来解决,充分利用互为反函数的图象关于直线$y=x$对称这一特征.
【变式训练2】 设函数$f(x)=\log _{a}(x+b)(a>0, a \neq 1)$的图象过点$(2,1)$,其反函数的图象过点$(2,8)$,则$a+b=(\quad)$
A.6 B.5 C.4 D.3
【例3】 设$a, b, c$均为正数,且$2^{a}=\log _{\frac{1}{2}} a,\left(\frac{1}{2}\right)^{b}=\log _{\frac{1}{2}} b,\left(\frac{1}{2}\right)^{c}=\log 2 c$,则( )
A.$a < b < c$ B.$c < b < a$
C.$c < a < b$ D.$b < a < c$
【变式训练3】 已知函数$f(x)=3^{x-1}$,则它的反函数$y=f^{1}(x)$的图象大致是( )
真题
1.函数$y=\log _{\frac{1}{2}}(x>0)$的反函数是( )
$\begin{array}{ll}{\mathrm{A} \cdot y=x^{\frac{1}{2}} x>0} & {\mathrm{B} \cdot y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}, x \in \mathbf{R}} \\ {\mathrm{C} \cdot y=x^{2}, x \in \mathbf{R}} & {\mathrm{D} \cdot y=2^{x}, x \in \mathbf{R}}\end{array}$
2.函数$y=x+2, x \in \mathbf{R}$的反函数为( )
$A x=2-y B \cdot x=y-2$
$C . y=2-x, x \in \mathbf{R} \quad D . y=x-2, x \in \mathbf{R}$
3.若函数$f(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}$ 的反函数是$y=g(x)$,则$g(5)$等于( )
$\begin{array}{llll}{\text { A. } \frac{1}{27}} & {\text { B. } 27} & {\text { C. } 1} & {\text { D.1 }}\end{array}$
4.若函数$f(x)=a^{x}(a>0$,且$a \neq 1$)的反函数的图象过点$(2,-1)$,则$a=$_________.
5.若函数$y=\frac{a x}{1+x}$的图象关于直线$y=x$对称,则$a$的值为_________.
6.已知函数$f(x)=a^{x}-k(a>0$,且$a \neq 1 )$的图象过点$(1,3)$,其反函数的图象过点$(2,0)$,则$f(x)$的表达式为_________.