棱柱、棱锥和棱台的特征

【做一做1】 长方体有_________条对角线,四面体有_________条棱. 

答案：4　6

【做一做2-1】 四棱柱有(　　)

A.4条侧棱,4个顶点  B.8条侧棱,4个顶点

C.4条侧棱,8个顶点  D.6条侧棱,8个顶点

答案：C

【做一做2-2】 下列三种说法中,正确的个数为(　　)

①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱;

②底面是正多边形的棱柱是正棱柱;

③棱柱的侧面都是平行四边形.

A.0  B.1  C.2  D.3

解析：由直棱柱的定义,知①正确;由正棱柱的定义,知底面是正多边形的直棱柱是正棱柱,故②错误;由棱柱的定义知其侧面都是平行四边形,故③正确.

答案：C

【做一做3-1】 在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有(　　)

A.1个  B.2个  C.3个  D.4个

答案：D

【做一做3-2】 正四棱锥$S-ABCD$的所有棱长都等于$a$,过不相邻的两条侧棱作截面$SAC$,如图,则截面的面积为(　　)

$\mathrm{A} \cdot \frac{3}{2} a^{2} \quad \mathrm{B} \cdot a^{2} \quad \mathrm{C} \cdot \frac{1}{2} a^{2} \quad \mathrm{D} \cdot \frac{1}{3} a^{2}$

解析：由正棱锥的性质,知底面ABCD是正方形,

所以$A C=\sqrt{2} a$.

在等腰$\Delta S A C$中,$S A=S C=a, A C=\sqrt{2} a$,

所以$\angle A S C=90^{\circ}$,

即$S_{\Delta S A C}=\frac{1}{2} a^{2}$.

故选$\mathrm{C}$.

答案：$\mathrm{C}$

【做一做4】 棱台不具有的性质是(　　)

A.两底面相似

B.侧面都是梯形

C.侧棱都平行

D.侧棱延长后都交于一点

答案：C

【例1】 如图,长方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$.

(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?

(2)用平面$B C N M$把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,说明理由.(提示:根据后面将要学习的线面平行的性质定理,可以证明$B C / / M N$,且$B C=M N$)

分析：根据棱柱的定义及特征进行分析判断.

【变式训练1】 下列几何体是棱柱的有(　　)

A.5个  B.4个  C.3个  D.2个

【例2】 判断下列说法是否正确?为什么?

(1)棱锥的所有面可以全部是三角形;

(2)三棱锥中任何一个顶点都可作为棱锥的顶点,任何一个面都可作为棱锥的底面;

(3)一个棱锥至少有四个面;

(4)如果四棱锥的底面是正方形,那么其四条侧棱都相等;

(5)棱锥被一个平面所截,一定得到一个棱锥和一个棱台;

(6)正棱锥的侧面全是正三角形.

分析：按照棱锥、正棱锥的定义及特征分析判断.

【变式训练2】 一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面(　　)

A.必定都不是直角三角形

B.至多有一个直角三角形

C.至多有两个直角三角形

D.可能都是直角三角形

【例3】 在下列几何体中,是台体的是(　　)

A.①②  B.①③  C.③  D.②③

分析：根据棱台的定义进行判断.

【变式训练3】 下列描述中,是棱台的性质的是_________.(填序号) 

①两底面平行;②侧面都是梯形;③侧棱都相等,且平行;④侧棱延长后都交于一点;⑤底面不可能为三角形.

【例4】 正四棱台的上、下底面面积分别为4,16,一侧面面积为12,分别求该棱台的斜高、高、侧棱长. 

【变式训练4】 (1)在正三棱锥V-ABC中,若其底面边长为8,侧棱长为2$\sqrt{6}$ ,则它的高等于_________; 

(2)若正四棱台两底面的面积分别为4和16,其高为$\sqrt{3}$,则该正四棱台的侧棱的长为_________.

【例5】 如图,在正三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$中,$A B=3, A A_{1}=4 . M^{2}$为$A A_{1}$的中点,$P$是$BC$上一点,且由$P$沿棱柱侧面经过棱$C C_{1}$到M的最短路线长为$\sqrt{29}$,设这条最短路线与$C \mathrm{C}_{1}$的交点为$N$.求点$P$的位置.

分析：把三棱柱的侧面展开后放在平面上,通过列方程来求出点$P$到点$C$的距离,即确定了点$P$的位置.

【变式训练5】 如图,正三棱锥$V-A B C$的侧棱长为1,$\angle A V B=40^{\circ}$,$E$和$F$分别是棱$VB$和$VC$上的点,求$\triangle A E F$的周长的最小值.

2.下列命题中正确的是(　　)

A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行

B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

C.在平行六面体中,任意两个相对的面均互相平行,但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面

D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形

3.如图,正三棱柱$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$的各棱长都是$2, E, F$分别是$A B, A_{1} C_{1}$的中点,则$E F$的长是(　　) 

$\begin{array}{llll}{\text { A.2 }} & {\text { B. } \sqrt{3}} & {\text { C. } \sqrt{5}} & {\text { D. } \sqrt{7}}\end{array}$

4如图,在三棱台$A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}-A B C$中,截去三棱锥$A^{\prime}-A B C$,则剩余部分的几何体是一个　　　　　. 

5正三棱锥底面面积为$\frac{9 \sqrt{3}}{4}$,侧棱长为4,求此三棱锥的斜高和高.